Netze und Konvergenz

FA1 Vorlesung

Topologischer Raum

Ein Topologischer Raum ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin Topologie der Mathematik. Durch die Einführung einer topologischen Struktur auf einer Menge lassen sich intuitive Lagebeziehungen wie „Nähe“ und „Konvergenz gegen“ aus den reellen Zahlen \({\mathbb R}\) bzw. aus dem \({\mathbb R}^{n}\) auf viele und sehr allgemeine Strukturen übertragen (wie z.B. die Topologie von Funktionenräumen).

Definition: Topologie

Eine Topologie ist ein Mengensystem \(\cal T\) bestehend aus Teilmengen (offene Mengen genannt) einer Grundmenge \(X\), für die die folgenden Axiome erfüllt sind:

  • (T1) \(\emptyset, X \in \cal T\)
  • (T2) \(U \cap V \in \cal T\) für alle \(U,V \in \cal T\).
  • (T3) Für eine beliebige Indexmenge \(I\) und \(U_i \in \cal T\) für alle \(i \in I\) gilt: \(\bigcup_{i \in I} U_i \in \cal T\).

Eine Menge \(X\) zusammen mit einer Topologie \(\cal T\) auf \(X\) heißt topologischer Raum \((X,T)\).

Hierachie Topologiescher Räume

Hierarchie Topologischer Räume
Hierarchie Topologischer Räume

Bedeutung: Notation Topologie

  • (T1) \(\emptyset, X \in X\) leere Menge und die Grundmenge \(X\) sind offene Mengen
  • (T2) \(U \cap V \in T\) für alle \(U,V \in T\): Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge.
  • (T3) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist wieder eine offene Menge.

Normierter Raum

Ein normierter Raum ist zugleich auch ein metrischer Raum. Ein Norm ordnet einem Vektor seine Vektorlänge zu.

Definition: Norm

Eine Norm ist eine Abbildung \(\|\cdot\|\) von einem Vektorraum \(V\) über dem Körper \(\mathbb K\) der reellen oder der komplexen Zahlen in die Menge der nichtnegativen Zahl reellen Zahlen \({\mathbb R}_0^{+}\).

\[\|\cdot\|\colon V\to{\mathbb R}_0^{+}, \; x \mapsto \| x \|,\]

Erfüllt \(\|\cdot\|\) die Axiome N1,N2, N3, so heißt \(\|\cdot\|\) Norm auf \(V\).

  • (N1) Definitheit: \(\|x\| = 0 \;\Rightarrow\; x = 0\) für alle \(x \in V\),
  • (N2) absolute Homogenität: \(\|\lambda\cdot x\| = |\lambda|\cdot\|x\|\) für alle \(x\in V\) und \(\lambda\in \mathbb K\)
  • (N3) Dreiecksungleichung: \(\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|\) für alle \(x, y\in V\).

Notation: Norm

  • In dem Axiom (N2) \(\|\lambda\cdot x\| = |\lambda|\cdot\|x\|\) bezeichnet \(|\cdot|\) den Betrag des Skalars.
  • \(\|x\|\) gibt die Länge des Vektors \(x\in V\) an.

Äquivalenz: Normen

Seien zwei Normen \(\|\cdot\|_1\) und \(\|\cdot\|_2\) auf dem \(\mathbb K\)-Vektorraum \(V\) gegeben. Die beiden Normen sind äquivalent, wenn gilt:

\[\exists_{C_1,C_2 >0} \forall_{x \in V} \ : \ C_1 \|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq C_2 \|x\|_1\]

Veranschaulichung: Norm Dreiecksungleichung

Nach der Dreiecksungleichung ist die Länge der Summe zweier Vektoren höchstens so groß wie die Summe der Längen
Nach der Dreiecksungleichung ist die Länge der Summe zweier Vektoren höchstens so groß wie die Summe der Längen

Historische Anmerkung: Norm

Diese axiomatische Definition der Norm wurde von Stefan Banach 1922 in seiner Dissertation aufgestellt Das heute übliche Normsymbol wurde erstmals von Erhard Schmidt 1908 als Abstand \(\|x-y\|\) zwischen Vektoren \(x\) und \(y\) verwendet.

Metrik

Eine Metrik \(d\) ordnet mit \(d(x,y)\) zwei Elementen \(x,y \in X\) aus einem Grundraum \(X\) den Abstand \(d(x,y)\) zwischen \(x\) und \(y\) zu.

Formale Definition: Metrik

Sei \(X\) eine beliebige Menge. Eine Abbildung \(d\colon X\times X\to \mathbb{R}\) heißt Metrik auf \(X\), wenn für beliebige Elemente \(x\), \(y\) und \(z\) von \(X\) die folgenden Axiome erfüllt sind:

  • (M1) Positive Definitheit: \(d\left(x,y\right) \geq 0\)     und     \(d\left(x,y\right) = 0 \Leftrightarrow x = y\),
  • (M2) Symmetrie: \(d\left(x,y\right) = d(y,x)\),
  • (M3) Dreiecksungleichung: \(d\left(x,y\right) \leq d(x,z) + d(z,y)\).

Veranschaulichung: Metrik Dreiecksungleichung

Nach der Dreiecksungleichung ist der Abstand zwischen zwei Punkten X,Y höchstens so groß wie Summe der Abstände von X zu Z und von Z zu Y, also einem Umweg über den Punkt Z
Nach der Dreiecksungleichung ist der Abstand zwischen zwei Punkten X,Y höchstens so groß wie Summe der Abstände von X zu Z und von Z zu Y, also einem Umweg über den Punkt Z

Anmerkungen: Metrikdefinition

Die Forderung \(d(x,y)\geq0\) kann weggelassen werden, denn sie folgt aus den anderen, da

\(0 = \frac{1}{2} d(x, x) \leq \frac{1}{2}(d(x, y) + d(y, x)) = \frac{1}{2}(d(x, y) + d(x, y)) = d(x, y).\)

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