Lineare Abbildungen
FA1 Vorlesung 2
Definition: Lineare Abbildung
Seien \(V\) und \(W\) Vektorräume über einem gemeinsamen Grundkörper \(\mathbb K\). Eine Abbildung \(f\colon V \to W\) heißt lineare Abbildung, wenn für alle \(x,y \in V\) und \(\lambda \in \mathbb K\) die folgenden Bedingungen gelten:
- \(f\) ist homogen:
- \(f\left(\lambda x\right) = \lambda f\left(x\right)\)
- \(f\) ist additiv:
- \(f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)\)
Alternative Definition Lin. Abb.
Die zwei obigen Bedingungen kann man auch zusammenfassen:
\[f\left(\lambda x + y\right) = \lambda f\left(x\right) + f\left(y\right)\]
- Für \(y = 0_V\) liefert diese die Bedingung für die Homogenität und
- für \(\lambda = 1 \in \mathbb K\) in Eigenschaft für die Additivität.
Eine weitere, gleichwertige Bedingung ist die Forderung, dass der Graph der Abbildung \(f\) ein Untervektorraum der Summe der Vektorräume \(V\) und \(W\) ist.
Beispiele 1
- Für \(V = W = \mathbb R\) hat jede lineare Abbildung die Gestalt \(f(x) = m x\) mit \(m \in \mathbb R\).
- In der Schule werden lineare Funktionen behandelt. Dort bezeichnet man in der Regel Funktionen \(f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) der Form \(f(x)= mx + b\) mit \(m, b \in \mathbb{R}\) als linear. Tatsächlich sind solche affinelineare Abbildungen nur für \(b=0\) tatsächlich lineare Abbildungen:
Für \(m = 1\) und \(b = 3\): \(f(2x)= 2x + 3 \neq 2x + 6 = 2f(x)\).
Beispiele 2
- Es sei \(V = \mathbb R^n\) und \(W = \mathbb R^m\). Dann wird für jede \(m \times n\)-Matrix \(A\) mit Hilfe der Matrizenmultiplikation eine lineare Abbildung
\(f \colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m\) durch
\(f(x) = A \, x =
\begin{pmatrix}
a_{11} & \dots & a_{1n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{m1} & \dots & a_{mn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\)
definiert. Jede lineare Abbildung von \(\mathbb R^n\) nach \(\mathbb R^m\) kann so dargestellt werden.
Beispiele 3
- Ist \(I \subset \mathbb R\) ein offenes Intervall, \(V = C^1(I,\mathbb R)\) der \(\mathbb R\)-Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen auf \(I\) und
- \(W = C^0(I,\mathbb R)\) der \(\mathbb R\)-Vektorraum der stetigen Funktionen auf \(I\), so ist die Abbildung
\(D \colon C^1(I,\mathbb R) \to C^0(I,\mathbb R)\), \(f \mapsto f'\),
die jeder Funktion \(f \in C^1(I,\mathbb R)\) ihre Ableitung zuordnet, linear. Entsprechendes gilt für andere lineare Differentialoperatoren.
Bild
Zwei bei der Betrachtung linearer Abbildungen wichtige Mengen sind das Bild und der Kern einer linearen Abbildung \(f\colon V \to W\).
- Das Bild \(\mathrm {im} (f)\) der Abbildung ist die Menge der Bildvektoren unter \(f\), also die Menge aller \(f(v)\) mit \(v\) aus \(V\). Die Bildmenge wird daher auch durch \(f(V)\) notiert.
- Das Bild ist ein Untervektorraum von \(W\).
Kern
- Der Kern \(\mathrm{Ker}(f)\) der Abbildung ist die Menge der Vektoren aus \(V\), die durch \(f\) auf den Nullvektor von \(W\) abgebildet werden.
- Der Kern ist ein Untervektorraum von \(V\). Die Abbildung \(f\) ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur den Nullvektor enthält.